Gönderen Konu: VMG - VMC - Polar İlişkisi  (Okunma sayısı 1764 defa)

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
VMG - VMC - Polar İlişkisi
« : 09 Ekim 2018, 17:53:41 »
Bu konu hakkında bir süredir kafa yoruyorum. Geldiğim noktaya kadar yazayım dedim bari devamını birlikte tartışalım çünkü içinden çıkamadığım bir noktaya geldim.

Şimdi efendim, malum yelkenli teknelerin karakteristiği olan kalp şekline benzeyen bir eğri var. Polar grafik deniyor buna, teknenin suya döre hızını gerçek rüzgar ile yaptığı açının fonksiyonu olarak ifade ediyor bu grafikler. Bunlar esasında tekne tasarımcıları tarafından hesaplanıp teorik olarak yayımlanıyorlar. Pratikte bu eğri tarafından öngörülen hızların aşılabileceğini söyleyen reislere rastladı isem de onlar bile bunun limitleri "zorlamak" olduğunu söylüyorlar ve armanın sağlığı açısından denenmemesi gerektiği söyleniyor. Bu noktayı tartışma dışı bırakıyorum. Sonuçta yelken yapan herkes biliyor ki gerçekten de yelkenliler bu eğri tarafından tasvir edilen bir açı-hız karakteristiği gösteriyorlar. Dolayısı ile polar grafiği temel alarak tartışalım.

İncelediğim konu en hızlı varış problemi. Yarışçıların ilgisini çeken bu konuda şimdiye kadar yapılmış matematiksel bir çalışmaya rastlamadım, sadece bir takım "prensipler" ve genel geçer kaideler var ortalıkta. (Bu arada birazdan yazacağım problemin her zaman genel bir çözümünün olduğundan da emin değilim.) Net olması açısından somut örnekler üzerinden gideyim.

Bir hedefiniz olsun, bir ada, bir şamandıra, bir liman, sabit bir nokta diyelim. Bu nokta:

1. Rüzgarın tam estiği yönde yer alsın.
 
Bu durumda en hızlı şekilde ulaşmanın yolu nedir? Elbette ki orsa gitmemiz gerekecektir ancak tam olarak hangi açıda? Bu problemin çözümü kolay. Teknenizin polar grafiğini alıyorsunuz ve önünüze simetrik bir şekilde koyuyorsunuz ondan sonra da yukarıdan aşağı paralel bir doğru yaklaştırarak eğriye ilk temas ettiği noktaya bakıyorsunuz. İşte bu ilk teğet noktasına denk gelen açı sizin hedefinize maksimum hız ile yaklaşabileceğiniz açıyı veriyor. Buna VMG_maks açısı deniyor. VMG - velocity made good diye bir teknik tabir ve tam rüzgarın yönüne doğru hız bileşeninizin büyüklüğünü anlatıyor. İşte bunu maksimum yapmak istiyoruz ve yöntemimiz de bu. Mesela aşağıdaki durumda teknenin VMG_maks açısı 35 derece civarında. İlk teğet o açıda çünkü. (Pupa için de aynı argümanlar söylenebilir, maksimum hızı bulmak için belli bir geniş apaz açısı var gördüğünüz gibi aynı yöntemle bulunan)



En verimli orsa açısını bilmek rüzgara doğru en hızlı şekilde gidebilmek için önemli. Bazı rüzgar göstergelerindeki VMG düğmesi bu işe yarıyor. Basıp tam rüzgar üstüne olan hız bileşeninize bakıyorsunuz ve biraz sancağa biraz iskeleye deneyerek bu hızı maksimum yapmaya çalışıyorsunuz. Pratik olarak da bu şekilde yapılabilir yani.

Peki yarış stratejisi olarak hedefe en hızlı şekilde ulaşmak için ne yapmak lazım? Eğer rüzgar hiç değişmezse ve bütün koşullar aynı kalırsa matematik bize bir kontrada kalıp hedef diğer kontramızda maks VMG_açısına düşene kadar ilerlemeyi sonra bir tremola atarak oraya en hızlı şekilde ulaşabileceğimizi söylüyor. Burada hiçbir tereddüt yok, matematiksel bir kesinlik.

[ Kesinlik derken hemen kocaman bir parantez açalım, öyle ise neden yarışçılar orsa şamandırasına tek bir tremola atarak değil de mümkün olduğunca orta çizgiye yakın kalmaya çalışıp çok tremola atarak ilerlemeyi tercih ediyorlar? Bu çok güzel soru çünkü her tremola aynı zamanda zaman kaybı demek. Ama demek ki reel tecrübeleri onlara koşulların aynı kalmadığını, bir kontrada giderek orta çizgiden çok fazla uzaklaştıkları zaman özellikle rüzgarın kafaya doğru dönmesinde geriye dönüşte büyük zaman kaybedeceğini öğretmiş. Başka hiçbir açıklaması olamaz bunun. Aşağıdaki videoda net bir rakam da vermiş mesela kaptan.


Diyor ki eğer hedef yönündeki hız bileşenin o andaki hızının % 60'ının altına düştü ise tremola atmanın zamanıdır. Bu, tecrübe ile elde edilmiş bir rakam muhtemelen. Matematiksel bir temeli olduğunu zannetmiyorum. Zaten duyduğumuz kadarı ile yarışçıların yaptıkları uygulama, rüzgar kafaya döndü ise hemen tremola atmak, rüzgar diğer kontraya açtı ise ne ala, biraz daha orsalayıp hedefe daha da hızlı yaklaşabilmek yönünde. Ama bütün bu pratik uygulamalar ile şu anda ilgilenmiyorum. Dediğim gibi matematiksel kesinlik kısmı daha çok ilgimi çekiyor ve bu problemde herşey net, ancak aşağıda yazdığım diğer problemde işler matematiksel olarak da biraz daha çetrefilli hale geliyor. ]

2. Hedef rüzgarın tam estiği yönde değil, yine rüzgar üstünde ama biraz açı var, bu durumda ne yapmak lazım?

Bu durumu da tasvir eden şekil aşağıda.



Elbette ki bütün pratiğimiz hedefe yakın olan kontrada kalmamız gerektiğini söylüyor. Doğru. Peki ama hangi açı en ideal olur? Bunu hesaplamak için de yine aynı taktiği uyguluyoruz. Ama bu sefer polar diyagramımızı biraz döndürmemiz lazım. Hedef önümüzde olacak şekilde rüzgara doğru döndürüyoruz. Ve hedeften aşağı paralel bir çizgi çekerek diyagrama ilk temas ettiği noktaya ve o noktaya temas eden açıya bakıyoruz. İşte bu açı bu şartlar altında hedef yönünde en büyük hız bileşenini veren açı.
 
Buna da VMC deniyor. Yani velocity made on course - hedefe doğru olan hız. (VMG tam rüzgar üstüne olan bileşenimizdi ve bir önceki örnekte VMC ile aynı şeyi ifade ediyordu çünkü hedef de tam rüzgar üstü idi. Yine de VMG'yi VMC ile aynı anlamda kullananlar da var ama biz bu ayrımı koyalım. Çoğu chartplotterda bu özellik var, doğrudan VMC gösterebiliyorlar belli bir hedefe.)

Bizim yeni durumumuzda şekilden gördüğünüz gibi optimum VMG açısı olan 35 derece değil daha geniş olan 50 derece daha hızlı getiriyor bizi hedef yönüne doğru. Şimdi esas problem geldi. Nasıl geri döneceğiz? 50 derece gibi kafayı fazla açarsanız (ve şartlar hiç değişmezse) bu sefer dönüş yolunuzda yine doğruyu kaydırarak maksimum VMC'yi bulayım derseniz noktalı çizgiden gördüğünüz gibi 30 derecelerin altına düşmüş oluyorsunuz çünkü eğri artık asimetrik ve tekneniz yavaşlıyor.

Acaba kazandığım zamanı kaybediyor muyum çok güzel bir soru ve henüz kesin bir cevabını bulamamakla beraber bu fotoğrafı bir grafik editörüne koyup vektörlerin ve yolların boyunu kabaca ölçüp yaptığım hesaplarda çok da fazla bir kazanç elde edilmediğini gördüm. Şimdi yarışçılar bu durumda ne yapıyor? Muhtemelen bir önceki örnekte olduğu gibi havayı kollayarak yakın kontrada çok kalıp yine bolca tremolalı filan gitmeye çalışıyorlar, %60 kuralı burada da geçerli mi bilmiyorum.

Dediğim gibi matematiksel olarak henüz netleştiremediğim bir şey, aklımda olan polar diyagramı analitik olarak temsil eden bir eğri bulup onun üzerinde bilgisayarla nümerik analiz filan yapmaktı ama henüz vaktim olmadı ve aklımda iken bu yazıyı yazayım dedim. Belki tecrübesi olan reisler vardır, Amerika'yı yeniden keşfetmeyelim, ama bu konuda fazla kaynak bulamadığımı söyleyeyim.

Yarışa girecek reislerimize de taktiksel element olarak belki yardımcı olur.
"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier

Çevrimdışı Eyüp Oğan

  • *
  • İleti: 527
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #1 : 03 Ekim 2019, 19:36:14 »
Doğan Reisim, çok güzel bir konuya değinmişsiniz.

Haliyle gezi yelkenciliğinde pek önemi olmayan bir konu olması nedeniyle pek dikkate alınmaz.

Ama yarışlarda çok önemlidir. Öyle ki diğer teknelerden oldukça hızlı olmanıza rağmen bir bakarsınız ki orsa şamandırasına oldukça geri sıralarda varmışsınız. Yeri değil ama bir de iç tekne değilseniz ve kontranız sancak değilse diğer teknelere yol hakkı da vermek zorunda kalırsınız.

Aradan neredeyse 1 yıl geçmiş, bu konuda başka detaylı bilgileriniz varsa eklerseniz iyi olacak.

Selam ve sevgiler..

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #2 : 03 Ekim 2019, 21:59:43 »
Yazıdan ümidi kesmiştim Eyüp Reisim  ;D valla 1 yıl sonra ilk yorum. Gerçi 1000 küsur okunmuş... Problem ara ara aklıma gelse de yarışçı bir reisten yorum almayı bekliyordum. Bulabildiğim yegane kaynak da yazıdaki video.

Bu arada "trivia" türünden bir bilgi. Malum forumun sansür uyguladığı yazı buydu.  :P
"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier

Çevrimdışı Özgür Ökten

  • *
  • İleti: 926
    • AÇIK DENİZ AKADEMİ
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #3 : 04 Ekim 2019, 12:37:40 »
Aaa unutmuşuz bu yazıyı hakikatten! :)

Yarışlarda en hızlı rotayı bulmak için AÇAN-ÇEKEN rüzgar takibi yapılıyor.
Gerçek dünyada rüzgar neredeyse hiçbir zaman sabit esmediği için çok dinamik bir adaptasyon gerekiyor.

Açan rüzgar teknenin başına doğru kayan/değişen, yani orsa gidebilmek için hedeften uzaklaşmak zorunda kaldığımız,
Çeken rüzgar ise teknenin kıçına doğru kayan/değişen ve hedefe doğru orsa açımızı düşüren rüzgardır.

Dolayısı ile taktik çoğu zaman rüzgar açtığında tremola etmek ve hep çeken rüzgarda ve orta hatta yakın kalmaktır.

Sadece daha uzun bacaklara sahip, açık denizde yapılan, rüzgarın nispeten daha stabil estiği durumlarda orta hattan daha uzaklaşarak, daha uzun tremola kolları yapılır.

Tabi doğru start yapmak, çevredeki teknelerin durumu, temiz rüzgarı yakalamak, sağnaklardan yararlanmak, çatışma kurallarını avantaja çevirmek gibi pek taktik de ekleniyor buna.

Sanırım şuradaki yazı ilgili çekebilir;
https://www.researchgate.net/figure/Test-1-The-results-of-our-tests-compared-with-classic-sailing-tactics_fig3_318700008
><(((º>

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #4 : 04 Ekim 2019, 22:11:17 »
Çok isabetli bir makale bulmuşsunuz Özgür Reisim, çok teşekkürler. Benden daha isabetli anahtar kelimeler seçmişsiniz. Sadece içeriği değil verdiği referanslar açısından da kayda değer.

Anladığım kadarıyla probleme stokastik süreçlerin hüküm sürdüğü bir ortamda bir kontrol mühendisliği problemi olarak bakılıyor. Bizim katta çalışan, bazen öğle yemeğine berber gittiğimiz yaşlı bir hocamız var. Kontrol mühendisliğinin çok değerli bir profesörü. Georgi Hoca... Ona göstereceğim, kesin ilgisini çeker. 2-3 yemeklik muhabbet çıktı.  :)

Serde fizikçilik var ya benim ilgimi çeken kısım daha idealize edilmiş bir dünyadaki bir "toy-oyuncak model". Biriken çok iş var şu aralar, ama detaylı okuyacağım. Bu makale 2017, önemli referansları ise hep 2015 sonrası. Yani hala açık problemlerin olduğu bir dal anladığım kadarıyla... İlginiz için tekrar teşekkürler, selamlar...  :)
"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier

Çevrimdışı Özgür Ökten

  • *
  • İleti: 926
    • AÇIK DENİZ AKADEMİ
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #5 : 04 Ekim 2019, 23:49:36 »
Makalenin denk gelmesine sevindim! :)

Bulma konusunda sırrım ise anahtar kelimeleri gugılın "görsel" bölümünde de aratmak! ;)

Resimleri algılamak cümleleri anlamaktan daha kolay geliyor, çok daha hızlı alakalı şeyleri bulabiliyorum bu yöntemle.

Bir de video eklemeye çalıştım aşağıda, 10mblık bir dosya. Ciddi bir yarışta orsa şamandırasına ilk varan teknenin yanlış (iskele) kontrada olduğu için kapatmalı olan tüm teknelere mecburen yol vermesi görünüyor.http://cloud.tapatalk.com/s/5d97aebbae01c/10000000_2375334409399871_3228762915261284120_n.mp4
><(((º>

Çevrimdışı Eyüp Oğan

  • *
  • İleti: 527
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #6 : 04 Ekim 2019, 23:57:47 »

Bir de video eklemeye çalıştım aşağıda, 10mblık bir dosya. Ciddi bir yarışta orsa şamandırasına ilk varan teknenin yanlış (iskele) kontrada olduğu için kapatmalı olan tüm teknelere mecburen yol vermesi görünüyor.http://cloud.tapatalk.com/s/5d97aebbae01c/10000000_2375334409399871_3228762915261284120_n.mp4

Kapatmalı değilde sancak kontra gelen teknelerin yol hakkı olduğu için yol veriyor, önlerinde tramola atması faul, şamandıraya 3 tekne boyu kala yol hakkı kuralı değişiyor ama video görüntüsüne göre 3 tekne boyundan uzakta..
Güzel öğretici bir video.. :)xx

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #7 : 05 Ekim 2019, 00:01:46 »
Birkaç saniyelik geçici rota değişiklikleri için bile trim değiştiriyorlar, limitte kullanmak böyle birşey demek ki...
"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier

Çevrimdışı Özgür Ökten

  • *
  • İleti: 926
    • AÇIK DENİZ AKADEMİ
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #8 : 05 Ekim 2019, 00:04:24 »
Quantum Sails'in videoları harika, çoğu ders gibi! :)

><(((º>

Çevrimdışı Murat Erciyes

  • *
  • İleti: 185
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #9 : 05 Ekim 2019, 00:17:46 »
İki gündür bu isabetli konu için birkaç satır da olsa yazmaya çalışıyorum, beceremedim.  Söylenecek çoğu şey de gayet güzel söylendi zaten.  Gerçek rüzgâr hızı (TWS) ve açısı (TWA) ile hazırlanan polar diyagramları Doğan Hocanın ilk mesajındaki gibi TWA sıfıra göre yerleştirip, ona dik bir çizgiyi polar diyagrama teğet çizdiğimizde VMG'yi buluyoruz meselesini biraz deşmeye çalıştım.  Hatta polar diyagramın fonksiyonunu çıkartıp ikinci türevinin sıfır olduğu yere bakmaya kadar gitti iş.  Sonra bütün bu saçmalıkları bırakıp, 40 feet civarında bir teknenin gerçek polar diyagramından 20 knots TWS'ye karşılık gelen tekne hızlarını TWA'lara göre lineer x-y eksenlerinde çizdim.  Bu tekne hızlarını da TWA açılarının cosinüs'leri ile çarparak TWA yönündeki hızları çıkarttım ki, en yüksek olan VMG ve açısı olacak.  Aşağıdaki gibi bir grafik çıktı (demek istiyordum ki bir türlü yükleyemedim kusura bakmayın), ki Doğan Hocanın ilk mesajındaki yöntemle de aynı yere geliyor, zaten iki işlem, sürpriz yok, benimkisi eğlence olsun.

Her neyse, benim burada dikkat çekmek istediğim şey, VMG göstergesine bakarız, ona göre açımızı oluştururuz falan diyoruz da, atıyorum polar diyagramında görülen açıdaki tekne gövde hızına da ulaşmış olmamız gerekiyor. Genellikle apaza doğru gerçek rüzgâr açılarında tekne hızına ulaşmakta pek zorluk çekmiyoruz.  Ama orsa trimleri kolay değil.  Çoğu tekne polar diyagramın orsa açılarındaki süratlere yaklaşamıyor bile.  Biz de dönüp zaten bunlar teorik falan diyoruz.  Bunun gerçek payı var ama, eksik ya da çok yanlış trimlerden dolayı da işler karışıyor. 

Hazır sazı elime almışken bir konuya daha dikkat çekmek isterim izninizle.  Bu başlık altındaki ilk mesajda genç bir yelkenci kardeşimiz VMG'yi açıklarken başka ilgili konulara da giriyor.  Burada gördüğümüz şudur: çoğumuz, hatta "yelken sporcusu" olanlarımız bile eskiden, belki kendi hocalarından gelen galât-ı meşhurlar ile işi götürüyorlar.  Belki performansa çok etkimiyor, ama yanlış her yerde yanlıştır. Amacım youtube'a çok iyi niyetle yerleştirilen bir videodaki kardeşimizi bu platformda eleştirmek değil, yanlış anlaşılmasın.  Örnek denk geldi diye yazıyorum. (1) bir yelkenlinin CLR'si başka şeydir, CG'si başkadır. Herhangi bir kütleye etki eden kuvvet ve momentler CG'ye etki eder ve lineer ve rotasyonel hareketler bu noktada oluşur (2) Yelkenin aerodinamik etki merkezi olan CE'nin teknenin orsalaması ya da başının kaçması x-z düzleminde değil, x-y düzleminde, yani plan düzleminde anlaşılır. Tekneyi yandan çizip CE'deki kuvvetlerin CG'ye etkisini yunuslama (ing.rolling) hareketi dışında göremeyiz. (3) olimpik sınıfları bilmem, ama bizim kullandığımız gezi ve gezi-yarış tipi yelkenlilerde CE'yi CG'nin önünden arkasına kıç ıstralyayı basarak alacak baba yiğit var mı bilmiyorum? Diyeceğim o ki (bu başlığı da başka bir konuya kaydırmak gibi bir terbiyesizlik de yapmak istemem), yelkeni VMG seviyesinde yapacaksak veya onu konuşuyorsak bir miktar yelken aerodinamiği hakkında kendimize bir şans vermeli bu konuda ilerleyebildiğimiz kadar çalışmalıyız.  Vallahi son cümle: Yıllar önce dağda "maden" tabir edilen sınıfta kayak öğrenmeye çalışıyorum.  Hoca (miili sporcu) diyor ki sağa dönerken ağırlığını sol dizine ver, göğsünü yamaca dön.  Bu ne ya??   :-[
BALIM SY

Çevrimdışı Özgür Ökten

  • *
  • İleti: 926
    • AÇIK DENİZ AKADEMİ
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #10 : 05 Ekim 2019, 00:26:41 »
Birkaç saniyelik geçici rota değişiklikleri için bile trim değiştiriyorlar, limitte kullanmak böyle birşey demek ki...
Hiç hata yapmayan (veya en az yapan) kazanıyor işte, aradaki farklar çok az.. :)
><(((º>

Çevrimdışı Özgür Ökten

  • *
  • İleti: 926
    • AÇIK DENİZ AKADEMİ
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #11 : 05 Ekim 2019, 00:33:07 »
Bir de şöyle güzel bir video buldum;

><(((º>

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #12 : 05 Ekim 2019, 00:37:46 »
Hatta polar diyagramın fonksiyonunu çıkartıp ikinci türevinin sıfır olduğu yere bakmaya kadar gitti iş. 


O fonksiyonun analitik ifadesi elimde olsa yazıda bahsettiğim 2. problem için işime yarardı Murat Reisim. Bu bağlamda çalışmanız ilgimi çekiyor. Matematikteki meşhur "kalp eğrisini" kullanmak gelmişti aklıma ama o da tam karşılamıyor. Sonra araya bir iki iş girdi kaldı öyle. Eğer elinizde ortalama bir polar diyagramı veren bir analitik ifade varsa basit bir betik yazarak problemi nümerik olarak inceletebilirim. Sonuç hasıl olmuş olur.
"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier

Çevrimdışı Murat Erciyes

  • *
  • İleti: 185
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #13 : 05 Ekim 2019, 11:39:53 »
Hatta polar diyagramın fonksiyonunu çıkartıp ikinci türevinin sıfır olduğu yere bakmaya kadar gitti iş. 


O fonksiyonun analitik ifadesi elimde olsa yazıda bahsettiğim 2. problem için işime yarardı Murat Reisim. Bu bağlamda çalışmanız ilgimi çekiyor. Matematikteki meşhur "kalp eğrisini" kullanmak gelmişti aklıma ama o da tam karşılamıyor. Sonra araya bir iki iş girdi kaldı öyle. Eğer elinizde ortalama bir polar diyagramı veren bir analitik ifade varsa basit bir betik yazarak problemi nümerik olarak inceletebilirim. Sonuç hasıl olmuş olur.

Keşke. Veri setini kullanarak Fourrier Serileri ile bir fonksiyon çıkartayım dedim ama polar eksene oturtamadım; unutmuşuz bunları  :-\ Ama zaten bir işe yaramayacaktı.  Asıl işe yarayacak olan şu olabilir: TWA 0 derece iken sorun yok, TWS ne ise VMG olan orsa açısı zaten belli. Gerçek rüzgâr hedeften kaymaya başladığında önemli olan hedefe olan en iyi hız başlıyor dendi ya, dolayısıyla bu veri seti üzerinden bir ifade kolayca yazılabilir.  Herhalde bu işleri yapan bilgisayarlardaki yazılımlar da böyle verilerin kullanıyor ve interpolasyon yaparak bir orsa açısı öneriyor?
BALIM SY

Çevrimdışı Doğan Erbahar

  • *
  • İleti: 536
Ynt: VMG - VMC - Polar İlişkisi
« Yanıtla #14 : 09 Ekim 2019, 11:42:55 »
Cem Eğrikavuk'tan bir mail aldım, aşağıdaki önemli nüansı vurgulamış.

"VMG(rüzgar) hesabında hedef sonsuz uzaklıkta.
VMC(hedef) hesabında ise hedef sabit. Yol yaptıkça hedefe olan açımız değişecek.
"

Noktaya doğru yaklaşma meselesinde işler ebette daha karışık hale geliyor ve sık tramola atmanın mantığı biraz daha bariz hale geliyor.
Benim yazıda incelediğim iki örnekte de hedef sonsuz uzaklıkta. Problemi basite indirgemek için sezgisel olarak bunu yaptım muhtemelen. Bu önemli hatırlatması için kendisine tekrar teşekkür ederim.

"...parce que je suis heureux en mer et peut-être pour sauver mon ame..." - Bernard Moitessier